Geometria Analítica: Área Lateral de Prisma - Exame Matemática A 12º Ano 2018

Na Figura 2, está representado, num referencial o.
n.
Oxyz, um prisma hexagonal regular.
Sabe-se que:

• [PQ] e [QR] são arestas de uma das bases do prisma;

• PQ = 4
Sabe-se ainda que:

• o plano PQR tem equação 2x + 3y - z - 15 = 0

• uma das arestas laterais do prisma é o segmento de reta [PS], em que S é o ponto de coordenadas (14,5,0)
Determine a área lateral do prisma.
Apresente o resultado arredondado às décimas.
Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos.
1.º Processo
Escrever $(x,y,z) = (14,5,0) + k(2,3,−1), k\in R$ (2 pontos)
Escrever as coordenadas de um ponto genérico da reta PS, em função de k (2 pontos)
Obter uma equação na variável k, substituindo x, y e z na equação do plano PQR pelas coordenadas de um ponto genérico da reta PS (2 pontos)
Obter o valor de k (2 pontos)
Determinar PS (2 pontos)
Obter a área lateral do prisma, com o arredondamento pedido (179,6) (2 pontos)
2.º Processo
Escrever $\frac{x-14}{2} = \frac{y - 5}{3} = \frac{z}{-1}$ (2 pontos)
Escrever $\begin{cases} \frac{x-14}{2} = \frac{y-5}{3} \\ \frac{y-5}{3} = \frac{z}{-1} \\ 2x + 3y - z - 15 = 0 \end{cases}$ (2 pontos)
Obter as coordenadas do ponto P (4 pontos)
Determinar PS (2 pontos)
Obter a área lateral do prisma, com o arredondamento pedido (179,6) (2 pontos)