Matemática B 11.º Ano 2020: Função Logística População Peixes

Admita que o desenvolvimento de uma certa população de peixes, a partir do instante em que se iniciaram as observações, é bem modelado pela função P, definida por P(t) = 20 / (1 + 19e-0,5t) , com t ≥ 0.
Neste modelo, P(t) é o tamanho da população, em toneladas, t anos após o instante inicial.
Considere que o modelo se mantém válido por tempo indeterminado.
Determine, de acordo com o modelo apresentado, quantos anos decorreram, desde o instante inicial, até ao instante em que o tamanho da população de peixes atingiu 15 toneladas.
Apresente o resultado arredondado às unidades.
Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.

Equacionar o problema (P(t) = 15) 5 pontos Resolver a equação anterior 12 pontos Esta etapa pode ser resolvida por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Representar graficamente a função P (ver nota) 6 pontos Representar graficamente a reta de equação y = 15 (ver nota) 2 pontos Assinalar o ponto de intersecção dos gráficos 2 pontos Obter a abcissa desse ponto (8,0861...) 2 pontos Nota - Se não for representado o referencial, a soma das pontuações a atribuir a estes passos é desvalorizada em 1 ponto. 2.° Processo Isolar e-0,5t 4 pontos Isolar –0,5t 6 pontos Obter o valor de t 2 pontos Apresentar o valor pedido (8 anos) 1 ponto