Função Logística: Assíntotas e Limite de População - Matemática B 11º Ano 2020

Admita que o desenvolvimento de uma certa população de peixes, a partir do instante em que se iniciaram as observações, é bem modelado pela função P, definida por P(t) = 20 / (1 + 19e-0,5t) , com t ≥ 0.
Neste modelo, P(t) é o tamanho da população, em toneladas, t anos após o instante inicial.
Considere que o modelo se mantém válido por tempo indeterminado.
Com o decorrer do tempo, e de acordo com o modelo apresentado, o tamanho da população de peixes poderia exceder as 20 toneladas? Justifique a sua resposta.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Referir que P é uma função logística (ou uma função estritamente crescente) 8 pontos Referir que a reta de equação y = 20 é assíntota horizontal do gráfico da função P 8 pontos Concluir que o tamanho da população de peixes não poderia ultrapassar as 20 toneladas 2 pontos 2.º Processo Escrever a inequação P(t) > 20 (ver nota) 5 pontos Isolar e-0,5t (ver nota) 4 pontos Referir que a inequação é impossível (ver nota) 7 pontos Concluir que o tamanho da população de peixes não poderia ultrapassar as 20 toneladas 2 pontos Nota - Se for apenas verificado que a equação P(t) = 20 é impossível e referida a monotonia da função, a soma das pontuações a atribuir a estas etapas não é desvalorizada. Se for apenas verificado que a equação P(t) = 20 é impossível, a soma das pontuações a atribuir a estas etapas é, no máximo, 10 pontos.