Matemática B 11.º Ano 2020: Cálculo de Área em Mosaico Geométrico

No museu de Faro, encontra-se exposto o mosaico do deus Oceano, uma obra romana cuja fotografia se apresenta na Figura 5.
O esquema apresentado na Figura 6 foi construído com base nesse mosaico.
Neste esquema, estão representados, entre outros elementos:

• dois quadrados centrais não sombreados, em que o maior tem 3 cm de lado;
• quatro quadrados sombreados, geometricamente iguais;
• hexágonos regulares sombreados, geometricamente iguais, contidos em hexágonos regulares também geometricamente iguais;
• triângulos isósceles sombreados, geometricamente iguais.
Determine a área de um dos quatro quadrados sombreados.
Apresente o resultado em cm², arredondado às décimas.
Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Reconhecer que os lados geometricamente iguais de cada triângulo sombreado medem 3 cm 3 pontos Obter a amplitude de um ângulo interno de um hexágono regular (120º) 3 pontos Obter a amplitude de um dos ângulos internos de cada triângulo sombreado (75º ou 30º) 4 pontos Escrever uma razão trigonométrica que permita obter metade do lado de um quadrado sombreado 4 pontos Obter o valor desse lado 3 pontos Obter a área pedida (2,4 cm²) 3 pontos 2.º Processo Reconhecer que os hexágonos maiores têm 3 cm de lado 3 pontos Reconhecer que um hexágono regular pode decompor-se em seis triângulos equiláteros geometricamente iguais 2 pontos Escrever uma razão trigonométrica que permita obter a altura de um desses triângulos, considerando a decomposição de um dos hexágonos maiores 4 pontos Obter essa altura 2 pontos Obter a distância entre dois lados opostos de um desses hexágonos 3 pontos Obter a diagonal de um quadrado sombreado 3 pontos Obter a área pedida (2,4 cm²) 3 pontos