Continuidade em x=0 | Matemática A 12.º Ano | Exame 2020 1.ª Fase

Seja g a função, de domínio R, definida por g(x) = { (1 + sen x) / (1 - eˣ) se x < 0; 0 se x = 0; x² ln x se x > 0 }.
Resolva os itens 10.
1.
e 10.
2.
sem recorrer à calculadora.
Averigue se a função g é contínua em x = 0.

Determinar $\lim_{x \to 0^-} g(x)$ 7 pontos Escrever $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{1 + \text{sen } x}{1 - e^x}$ 1 ponto Escrever $\lim_{x \to 0^-} (1 + \text{sen } x) = 1 + \lim_{x \to 0^-} \text{sen } x$ 1 ponto Escrever $1 + \lim_{x \to 0^-} \frac{\text{sen } x}{1 - e^x} = 1 + \lim_{x \to 0^-} \frac{\text{sen } x}{x} \times \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{1 - e^x}$ 2 pontos Escrever $1 + \lim_{x \to 0^-} \frac{\text{sen } x}{x} \times \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{1 - e^x} = 1 - \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{\frac{e^x - 1}{x}}$ 1 ponto Escrever $1 - \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{\frac{e^x - 1}{x}} = 1 - \frac{1}{1} = 0$ 1 ponto Obter $\lim_{x \to 0^-} g(x) = 0$ 1 ponto Determinar $\lim_{x \to 0^+} g(x)$ 6 pontos Escrever $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 \ln x)$ 1 ponto Escrever $\lim_{x \to 0^+} (x^2 \ln x) = \lim_{y \to +\infty} (\frac{1}{y^2} \ln (\frac{1}{y^2}))$ 2 pontos Escrever $\lim_{y \to +\infty} (\frac{1}{y^2} \ln (\frac{1}{y^2})) = \lim_{y \to +\infty} \frac{- \ln y^2}{y^2}$ 1 ponto Escrever $\lim_{y \to +\infty} \frac{- \ln y^2}{y^2} = \lim_{y \to +\infty} \frac{- \ln y}{y} \times \lim_{y \to +\infty} \frac{1}{y}$ 1 ponto Obter $\lim_{x \to 0^+} g(x) = 0$ 1 ponto Referir que $g(0) = 0$ 2 pontos Concluir que a função $g$ é contínua no ponto $0$ 1 ponto