Monotonia e Extremos (g(x)=x²lnx) - Matemática A 12º Ano 2020

Seja g a função, de domínio R, definida por g(x) = { (1 + sen x) / (1 - eˣ) se x < 0; 0 se x = 0; x² ln x se x > 0 }.
Resolva os itens 10.
1.
e 10.
2.
sem recorrer à calculadora.
Estude a função g quanto à monotonia em ]0, + ∞[ e determine, caso existam, os extremos relativos.
Na sua resposta, apresente o(s) intervalo(s) de monotonia.

Determinar $g'(x)$ em $]0, +\infty[$ (ver nota 1) 4 pontos Escrever $g'(x) = 0$ 1 ponto Determinar o zero de $g'$ em $]0, +\infty[$ 2 pontos Apresentar um quadro de sinal de $g'$ e de monotonia de $g$ em $]0, +\infty[$ (ou equivalente) 5 pontos Apresentar os intervalos de monotonia da função (ver nota 2) 1 ponto Obter $g(\frac{1}{\sqrt{e}}) = - \frac{1}{2e}$ 3 pontos Notas: 1. Se for evidente a intenção de determinar a derivada da função, a pontuação mínima a atribuir nesta etapa é 1 ponto. 2. Se for referido que a função $g$ é decrescente em $]0, \frac{1}{\sqrt{e}}[$, em vez de $]0, \sqrt{e}[$, e crescente em $]\frac{1}{\sqrt{e}}, +\infty[$, em vez de $]\sqrt{e}, +\infty[$, esta etapa deve ser considerada como cumprida.