Números Complexos: Perímetro Polígono Regular (Matemática A 12º Ano 2020)

Seja C o conjunto dos números complexos.
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Considere, em C, a equação z² = z̅.
Sabe-se que, no plano complexo, os afixos dos números complexos não nulos que são soluções desta equação são os vértices de um polígono regular.
Determine o perímetro desse polígono.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Seja $z = \rho e^{i\theta}$, com $\rho > 0$ 1 ponto Identificar $z^2$ com $\rho^2 e^{i2\theta}$ 1 ponto Identificar $\bar{z}$ com $\rho e^{-i\theta}$ 1 ponto Escrever $\rho^2 e^{i2\theta} = \rho e^{-i\theta}$ 1 ponto Escrever $\rho^2 = \rho \wedge 2\theta = -\theta + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ 2 pontos Obter o valor de $\rho$ 2 pontos Resolver a equação $2\theta = -\theta + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$, em ordem a $\theta$ 1 ponto Determinar $|z_1 - z_2|$, sendo $z_1$ e $z_2$ duas das soluções não nulas da equação $z^2 = \bar{z}$ 5 pontos Reconhecer que o polígono é um triângulo 1 ponto Obter o perímetro do polígono $(3\sqrt{3})$ 2 pontos 2.º Processo Seja $z = a + bi$, com $(a, b)\ne(0,0)$ Escrever $z^2 = a^2 – b^2 + 2abi$ 2 pontos Escrever $\bar{z} = a - bi$ 1 ponto Escrever $a^2-b^2 = a \wedge 2ab = -b$ 2 pontos Resolver a condição $a^2 – b^2 = a \wedge 2ab=-b$ 3 pontos Determinar $|z_1 - z_2|$, sendo $z_1$ e $z_2$ duas das soluções não nulas da equação $z^2 = \bar{z}$ 5 pontos Reconhecer que o polígono é um triângulo 1 ponto Obter o perímetro do polígono $(3\sqrt{3})$ 2 pontos