Matemática A 12.º Ano 2020: Projeção Ortogonal de Ponto em Plano

Na Figura 1, está representado, num referencial o.
n.
Oxyz, um cilindro reto.
Sabe-se que:

• o ponto A pertence ao eixo Oy e é o centro de uma das bases do cilindro, e o ponto B pertence ao eixo Ox e é o centro da outra base;
• o ponto C pertence à circunferência de centro B que delimita uma das bases do cilindro;
• o plano ABC é definido pela equação 3x + 4y + 4z − 12 = 0.
Resolva os itens 5.
1.
e 5.
2.
sem recorrer à calculadora.
Seja P o ponto de coordenadas (3,5,6).
Determine as coordenadas do ponto do plano ABC que se encontra mais próximo do ponto P

Designemos por $r$ a reta que passa no ponto $P$ e é perpendicular ao plano $ABC$ Escrever $(x, y, z) = (3, 5, 6) + k(3, 4, 4), k \in \mathbb{R}$ 5 pontos Escrever as coordenadas de um ponto genérico da reta $r$, em função de $k$ 3 pontos Obter uma equação na variável $k$, substituindo $x$, $y$ e $z$ na equação do plano $ABC$ pelas coordenadas de um ponto genérico da reta $r$ 4 pontos Obter o valor de $k$ 3 pontos Obter as coordenadas do ponto pedido $((0, 1, 2))$ 5 pontos