Assíntota Oblíqua: Função com Logaritmo (Matemática A 12º Ano 2020)

Seja f a função definida em ]−∞, 2] por f(x) = x + ln (eˣ + 1).
Resolva os itens 9.
1.
e 9.
2.
sem recorrer à calculadora.
O gráfico de f tem uma assíntota oblíqua.
Determine uma equação dessa assíntota.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Determinar $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}$ 8 pontos Escrever $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x + \ln (e^x+1)}{x}$ 1 ponto Escrever $\lim_{x \to -\infty} \frac{x + \ln (e^x+1)}{x} = \lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{\ln (e^x+1)}{x})$ 3 pontos Escrever $\lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{\ln (e^x+1)}{x}) = 1 + \lim_{x \to -\infty} \frac{\ln (e^x+1)}{x}$ 1 ponto Determinar $\lim_{x \to -\infty} \frac{\ln (e^x + 1)}{x}$ 2 pontos Obter $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}$ 1 ponto Determinar $\lim_{x \to -\infty} (f(x) - x)$ 6 pontos Escrever $\lim_{x \to -\infty} (f(x)-x) = \lim_{x \to -\infty} (x + \ln(e^x + 1) – x)$ 2 pontos Obter $\lim_{x \to -\infty} (f(x) – x)$ 4 pontos Concluir que a equação da assíntota é $y = x$ 2 pontos 2.º Processo Referir que $\lim_{x \to -\infty} (\ln (e^x + 1)) = 0$ 7 pontos Escrever $\lim_{x \to -\infty} (f(x) - x) = 0$ 7 pontos Concluir que a equação da assíntota é $y = x$ 2 pontos