Análise de Concavidade e Inflexão | Matemática A 12.º Ano | Exame 2020 - 2.ª Fase

Seja f uma função, de domínio ]0, +∞[, cuja derivada, f', de domínio ]0, +∞[, é dada por f'(x) = (2 + ln x)/x
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.
Na sua resposta, apresente:
- o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo; - o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para cima; - a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f

Determinar f"(x) (ver nota 1) 3 pontos Determinar o zero de f" 5 pontos Escrever f"(x) = 0 1 ponto Obter o zero de 1/e 4 pontos Apresentar um quadro de sinal de f" e de sentido da concavidade do gráfico de f (ou equivalente) 5 pontos Referir que o gráfico de f tem concavidade voltada para cima em ]0, 1/e] (ver nota 2) 1 ponto Referir que o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo em [1/e, +∞[ (ver nota 3) 1 ponto Indicar a abcissa do ponto de inflexão do gráfico da função f (1/e) 1 ponto Notas: 1. Se for evidente a intenção de determinar a segunda derivada da função, a pontuação mínima a atribuir nesta etapa é 1 ponto. 2. Se for referido que o gráfico de f tem concavidade voltada para cima em ]0, 1/e], em vez de ]0, 1/e[, esta etapa deve ser considerada como cumprida. 3. Se for referido que o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo em [1/e, +∞[, em vez de ]1/e, +∞[, esta etapa deve ser considerada como cumprida.