Números Complexos: Multiplicação e Módulo - Matemática A 12º Ano Exame 2020

Seja C o conjunto dos números complexos.
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Seja z1 = 2/(1-i) + 4/i^5 e seja z2 um número complexo tal que |z2| = √5 Sabe-se que, no plano complexo, o afixo de z1 x z2 tem coordenadas positivas e iguais.
Determine z2 Apresente a resposta na forma a + bi, com a, b ∈ R

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Identificar i⁵ com i 1 ponto Escrever z₁ = 2i + 4(1-i) / (1-i)i ou z₁ = 2(1+i) / (1-i)(1+i) + 4(-i) / i(-i) 2 pontos Obter z₁ = 1-3i 1 ponto Obter z₁ x z₂ = a + 3b + i(b − 3a), considerando z₂ = a + bi 2 pontos Escrever a + 3b = b − 3a 1 ponto Resolver a equação em ordem a a (ou em ordem a b) 1 ponto Determinar |z₂|, em função de b (ou em função de a) 2 pontos Resolver a equação |z₂| = √5 3 pontos Concluir que z₂ = -1 + 2i 3 pontos 2.º Processo Identificar i⁵ com i 1 ponto Escrever z₁ = 2i + 4(1-i) / (1-i)i ou z₁ = 2(1+i) / (1-i)(1+i) + 4(-i) / i(-i) 2 pontos Obter z₁ = 1-3i 1 ponto Calcular |z₁| 1 ponto Calcular |z₁ x z₂| 3 pontos Concluir que z₁ x z₂ = 5 + 5 i 5 pontos Escrever z₂ = (5+5i)(1+3i) / (1-3i)(1+3i) 2 pontos Obter z₂ (-1+2i) 1 ponto