Geometria Analítica: Área de Triângulos e Trigonometria (Matemática B 11º Ano 2021)

O penúltimo rei de Portugal, D.
Carlos I, era um apaixonado pela
oceanografia e por barcos.
Com grande talento para a pintura, deixou
várias aguarelas ligadas ao mar.
A Figura 4 é uma fotografia de uma dessas aguarelas.
A partir das velas do barco da Figura 4, um desenhador está
a estudar um logotipo composto por dois triângulos, que representou
a sombreado, em referencial ortogonal e monométrico, Oxy, tal
como mostra a Figura 5.
Nesta figura:

• a circunferência tem centro no ponto O;

• os pontos A(1, 0) e D(−1, 0) pertencem à circunferência;

• o ponto M é o ponto médio do segmento de reta [OA];

• a reta r é tangente à circunferência no ponto A;

• os pontos B e C deslocam-se na reta r, de tal forma que
[MB] é sempre paralelo a [OC].
Para cada posição do ponto C, seja α a amplitude, em
graus, do ângulo AOC, com
40º ≤ α ≤ 70º
A unidade de medida de comprimento é o metro.
Mostre que a soma, T, das áreas dos triângulos [DOC] e [MAB], em metros quadrados, é dada,
em função de α, por
T(α) = 5tg(α)
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Escrever uma expressão da área do triângulo [DOC], em função de α 7 pontos Reconhecer que A[DOC] = DO × AC / 2 1 ponto Reconhecer que DO = 1 2 pontos Identificar AC com tg(α) 3 pontos Obter tg(α) / 2 (ou equivalente) 1 ponto Escrever uma expressão da área do triângulo [MAB], em função de α 7 pontos Reconhecer que A[MAB] = MA x AB / 2 1 ponto Reconhecer que MA = 0,5 2 pontos Identificar AB com tg(α) / 2 3 pontos Obter tg(α) / 8 (ou equivalente) 1 ponto Obter 5tg(α) / 8 2 pontos