Matemática B 11.º Ano (2021, 2.ª Fase): Trigonometria e Áreas

O penúltimo rei de Portugal, D.
Carlos I, era um apaixonado pela
oceanografia e por barcos.
Com grande talento para a pintura, deixou
várias aguarelas ligadas ao mar.
A Figura 4 é uma fotografia de uma dessas aguarelas.
A partir das velas do barco da Figura 4, um desenhador está
a estudar um logotipo composto por dois triângulos, que representou
a sombreado, em referencial ortogonal e monométrico, Oxy, tal
como mostra a Figura 5.
Nesta figura:

• a circunferência tem centro no ponto O;

• os pontos A(1, 0) e D(−1, 0) pertencem à circunferência;

• o ponto M é o ponto médio do segmento de reta [OA];

• a reta r é tangente à circunferência no ponto A;

• os pontos B e C deslocam-se na reta r, de tal forma que
[MB] é sempre paralelo a [OC].
Para cada posição do ponto C, seja α a amplitude, em
graus, do ângulo AOC, com
40º ≤ α ≤ 70º
A unidade de medida de comprimento é o metro.
Determine o menor e o maior dos valores inteiros de α para os quais a soma, T, das áreas dos
triângulos [DOC] e [MAB] é superior a 1 m².
Note que a soma, T, das áreas dos triângulos [DOC] e [MAB], em metros quadrados, é dada,
em função de α, por T(α) = 5tg(α)
8
.

Representar graficamente a função T (ver notas 1 e 2) 6 pontos Representar graficamente a reta de equação y = 1 (ver nota 2) 3 pontos Assinalar o ponto de intersecção dos gráficos 1 ponto Obter a abcissa desse ponto (57,9...) 2 pontos Apresentar os valores pedidos (58° e 70°) (2+2) 4 pontos Notas: 1. Se não for respeitado o domínio da função, a pontuação a atribuir a esta etapa é desvalorizada em 1 ponto. 2. Se não for representado o referencial, a soma das pontuações a atribuir a estas etapas é desvalorizada em 1 ponto.