Monotonia e Extremos de Função - Matemática A 12.º Ano (2021)

Seja ƒ a função, de domínio ]0, +∞[, definida por f(x) = {-x²(1 + 2 lnx) se 0 < x ≤ 1 ; (5-5e^(x-1))/(x² + 3x-4) se x > 1 Resolva os itens 10.
1.
e 10.
2.
sem recorrer à calculadora.
Estude, no intervalo ]0,1[, a função f quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, e determine, caso existam, esses extremos.
Na sua resposta, apresente o(s) intervalo(s) de monotonia.

Determinar $f'(x)$ em $]0, 1[$ (ver nota 1) ............................................. 4 pontos Escrever $f'(x) = 0$ ............................................................................... 1 ponto Determinar o zero de $f'$ em $]0, 1[$ .................................................... 2 pontos Apresentar um quadro de sinal de $f'$ e de monotonia de $f$ em $]0, 1[$ (ou equivalente) ................................................................................... 4 pontos Apresentar os intervalos de monotonia da função em $]0, 1[$ (ver nota 2) . 1 ponto Reconhecer que o extremo relativo é $f(\frac{1}{e})$ ....................................... 1 ponto Determinar $f(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e^2}$ ..................................................................... 1 ponto Notas: 1. Se for evidente a intenção de determinar a derivada da função, a pontuação mínima a atribuir nesta etapa é 1 ponto. 2. Se for referido que a função $f$ é crescente em $]0, \frac{1}{e}[$ em vez de $]0, \frac{1}{e}[$ e decrescente em $]\frac{1}{e}, 1[$ em vez de $]\frac{1}{e}, 1[$, esta etapa deve ser considerada como cumprida.