Geometria Analítica: Esfera em Paralelepípedo - Exame Matemática A 12.º Ano 2021

Na Figura 1, está representado, num referencial o.
n.
Oxyz, um paralelepipedo retângulo [ABCDEFGH] Sabe-se que:

• o vértice A pertence ao eixo Ox e o vértice B pertence ao eixo Oy
• as coordenadas dos vértices E e G são (7,2,15) e (6,10,13), respetivamente;
• a reta EF é definida pela equação (x, y, z) = (1, −2,19) + k(−3, -2, 2), k∈R
Determine, sem recorrer à calculadora, a equação reduzida da superfície esférica de centro no ponto B e que passa no ponto D

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Reconhecer que o vetor de coordenadas (-3, -2, 2) é normal ao plano ABG ............................................................................................ 1 ponto Escrever -3x – 2y + 2z + d = 0 .............................................................. 2 pontos Escrever -3×6-2×10+2 × 13+ d = 0 ................................................... 2 pontos Obter o valor de d ................................................................................. 1 ponto Obter as coordenadas do ponto B ........................................................ 3 pontos Determinar o raio da superfície esférica ................................................ 3 pontos Escrever a equação reduzida da superfície esférica ($x^2 + (y − 6)^2 + z^2 = 69$) .......................................................................... 2 pontos 2.° Processo Designemos por b a ordenada do ponto B Reconhecer que o ponto B tem coordenadas (0, b, 0) ........................ 1 ponto Determinar as coordenadas do vetor $\vec{GB}$ ............................................. 2 pontos Determinar as coordenadas do vetor $\vec{GE}$ ............................................. 2 pontos Escrever $\vec{GB} \cdot \vec{GE} = 0$ (ou equivalente) ................................................... 2 pontos Determinar o valor de b ........................................................................ 2 pontos Determinar o raio da superfície esférica ................................................ 3 pontos Escrever a equação reduzida da superfície esférica ($x^2 + (y − 6)^2 + z^2 = 69$) .......................................................................... 2 pontos