Menor Módulo em Números Complexos: Exame Matemática A 12º Ano 2021

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Em C, conjunto dos números complexos, a condição (1+2i)z + (1 − 2i)z + 10 = 0 define, no plano complexo, uma reta.
Considere todos os números complexos cujos afixos pertencem a esta reta.
Determine qual deles tem menor módulo.
Apresente esse número complexo na forma a + bi, com a,b∈R

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Seja $z = x + yi$ Escrever $(1+2i)(x + yi) + (1 - 2i)(x - yi) + 10 = 0$ 2 pontos Obter $y = \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$ 5 pontos Escrever $\begin{cases} y = \frac{1}{2} x + \frac{5}{2} \\ y = -2x \end{cases}$ 3 pontos Resolver o sistema 3 pontos Concluir que o número complexo pedido é $-1+2i$ 1 ponto 2.º Processo Seja $z = x + yi$ Escrever $(1+2i)(x + yi) + (1 - 2i)(x - yi) + 10 = 0$ 2 pontos Obter $y = \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}$ 5 pontos Escrever $z=x+\left(\frac{1}{2} x + \frac{5}{2}\right)i$ 2 pontos Obter $|z|=\frac{\sqrt{5x^2+10x + 25}}{4}$ 2 pontos Determinar a abcissa do vértice da parábola que é o gráfico da função real de variável real definida por $5x^2+10x + 25$ 2 pontos Concluir que o número complexo pedido é $-1+2i$ 1 ponto