Assíntotas Horizontais em Função Definida por Ramos - Matemática A 12º Ano 2021

Seja f a função, de domínio R, definida por

$f(x) = \begin{cases} \frac{x - e^{-x}}{x} & \text{se } x < 0 \frac{sqrt{x^2 + 1}}{x + 1} - 3 & \text{se } x ge 0 \end{cases}$

Resolva os itens 9.
1.
e 9.
2.
sem recorrer à calculadora.
Estude a função f quanto à existência de assíntotas horizontais ao seu gráfico e, caso estas existam, escreva as respetivas equações.

Determinar $\lim_{x\to -\infty} f(x)$ 7 pontos Escrever $\lim_{x\to -\infty} f(x) = \lim_{x\to -\infty} \frac{x - e^{-x}}{x}$ 1 ponto Escrever $\lim_{x\to -\infty} \frac{x - e^{-x}}{x} = 1- \lim_{x\to -\infty} \frac{e^{-x}}{x}$ 2 pontos Escrever $1- \lim_{x\to -\infty} \frac{e^{-x}}{x} = 1+ \lim_{y\to +\infty} \frac{e^{y}}{y} \quad (y = -x)$ 3 pontos Obter $\lim_{x\to -\infty} f(x) = +\infty$ 1 ponto Determinar $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ 5 pontos Escrever $\lim_{x\to +\infty} f(x)=\lim_{x\to +\infty} \left(\frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1} - 3\right)$ 1 ponto Escrever $\lim_{x\to +\infty} \left(\frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1} - 3\right) = -3 + \lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}$ 1 ponto Determinar $\lim_{x\to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}$ 2 pontos Obter $\lim_{x\to +\infty} f(x) = -2$ 1 ponto Concluir que o gráfico de $f$ não tem qualquer assíntota horizontal quando $x\to -\infty$ e que tem uma assíntota horizontal de equação $y = -2$ quando $x \to +\infty$ 2 pontos