Geometria: Arco de Circunferência e Trigonometria - Exame Matemática B 11º Ano 2022

No verão passado, o João esteve a observar os pássaros que voavam perto da casa do avô.
Um pássaro descrevia um voo horizontal em linha reta quando, em certo momento, observou um alimento no ramo de uma árvore, à mesma altura do voo que estava a efetuar.
Para se aproximar do alimento, o pássaro descreveu, no mesmo plano horizontal, um arco de circunferência.
A situação, vista de cima, está representada no esquema da Figura 7.
Nesta figura, que não está à escala:

• o segmento de reta [AB] representa o voo inicial do pássaro, em linha reta;

• o ponto C representa a localização do alimento;

• o ponto O representa o centro da circunferência que contém o arco BC descrito pelo pássaro;

• a circunferência de centro O é tangente à reta AB no ponto B;

• r é o raio da circunferência, em metros;

• α é a amplitude, em graus, do ângulo agudo que a reta AB faz com o segmento de reta [BC];

• d é a distância de B a C, em metros.
Mostre que r = d/(2 senα)
Na sua resposta, comece por decompor o triângulo [BOC] pela altura relativa a [BC] .

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Decompor o triângulo [BOC] pela altura [OD] (sendo D o ponto médio de [BC]) 2 pontos Reconhecer que DBO = 90° − α 3 pontos d Escrever cos (90° - α) = 2 (ou equivalente). 5 pontos r Substituir cos (90° − α) por sen α 4 pontos d Obter r = 2 sen α 2 pontos 2.º Processo Decompor o triângulo [BOC] pela altura [OD] (sendo D o ponto médio de [BC]) 2 pontos Reconhecer que DBO = 90° − α 3 pontos Reconhecer que DÔB = α 4 pontos d 2 Escrever sen α = (ou equivalente) 5 pontos r d Obter r = 2 sen α 2 pontos