Sucessões Limitadas | Matemática A 12.º Ano Exame 2022 (2.ª Fase)

Seja (un) a sucessão definida por u_n = { (-1)^n se n ≤ 3 ; (4n - 1) / (n + 3) se n > 3 }.
Mostre que a sucessão (un) é limitada.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, três processos. 1.º Processo Obter 4n-1/n+3 = 4 - 13/n+3 2 pontos Obter 0 < 13/n+3 ≤ 13/7, para n≥4 2 pontos Obter 15/7 ≤ 4 - 13/n+3 < 4, para n≥4 5 pontos Obter -1≤un <4, para qualquer n∈N 4 pontos Concluir que (un) é limitada 1 ponto 2.º Processo Mostrar que (un) é minorada 6 pontos Indicar um minorante, m 1 ponto Justificar que un ≥m, para qualquer n∈N 5 pontos Mostrar que (un) é majorada 7 pontos Indicar um majorante, M 1 ponto Justificar que un≤M, para qualquer n∈N 6 pontos Concluir que (un) é limitada 1 ponto 3.º Processo Referir que uma sucessão convergente é limitada 6 pontos Calcular lim un 6 pontos Escrever lim un = lim 4n-1/n+3 1 ponto Escrever lim 4n-1/n+3 = lim (4 - 1/n)/(1 + 3/n) (ou equivalente) 3 pontos Obter lim un = 4 2 pontos Referir que (un) é convergente 1 ponto Concluir que (un) é limitada 1 ponto