Matemática A (2022, 2ª F): Extremos de Função Polinomial | Exame Nacional

Seja a um número real.
Considere a função polinomial definida, em R, por f(x) = (1/3)x³ + ax² + a²x + √2.
Mostre que, para qualquer valor de a, a função não tem extremos.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, três processos. 1.º Processo Determinar f'(x) (ver nota) 3 pontos Escrever f'(x) = 0 1 ponto Determinar o zero de f' 3 pontos Apresentar um quadro de sinal de f' e de monotonia de f (ou equivalente) 4 pontos Referir que f é crescente 1 ponto Concluir que f não tem extremos 2 pontos 2.º Processo Determinar f'(x) (ver nota) 3 pontos Escrever f'(x) = 0 1 ponto Determinar o binómio discriminante da equação f'(x)=0 2 pontos Referir que f' tem apenas um zero 1 ponto Reconhecer que o gráfico de f' é uma parábola com a concavidade voltada para cima 1 ponto Referir que f'(x)≥0, para qualquer x ∈ R 1 ponto Concluir que f é crescente 3 pontos Concluir que ƒ não tem extremos 2 pontos 3.º Processo Determinar f'(x) (ver nota) 3 pontos Obter f'(x) = (x + a)2 3 pontos Referir que f'(x)≥0, para qualquer x ∈ R 3 pontos Concluir que f é crescente 3 pontos Concluir que f não tem extremos 2 pontos Nota – Se for evidente a intenção de determinar a derivada da função, a pontuação mínima a atribuir nesta etapa é 1 ponto.