Geometria Analítica no Cubo: Coordenadas do Vértice E (Matemática A 12.º Ano 2022)

Na Figura 1, está representado o cubo [ABCDEFGH] .
Fixado um determinado referencial o.
n.
Oxyz, tem-se:
A(−2,5,0), B(1,−1,2) e C(3, 2, 8) .
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Sabe-se que o vértice E do cubo pertence à reta definida pela equação (x, y, z) = (0, 0, 3) + k(1, −1, −1), k∈R.
Determine as coordenadas do vértice E.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Reconhecer que AB é um vetor normal ao plano ADE 1 ponto Determinar as coordenadas de AB 1 ponto Obter uma equação cartesiana do plano ADE 5 pontos Escrever 3x - 6y +2z + d = 0 2 pontos Escrever 3×(-2)-6×5+2× 0 + d = 0 2 pontos Obter o valor de d 1 ponto Identificar as coordenadas do vértice E com (k, – k, 3 – k) 1 ponto Escrever 3×k−6 × (-k) + 2 × (3 – k) + 36 = 0 3 pontos Obter o valor de k 2 pontos Escrever as coordenadas do vértice E ((−6,6,9)) 1 ponto 2.° Processo Determinar as coordenadas de AB 1 ponto Identificar as coordenadas do vértice E com (k, – k, 3 – k) 3 pontos Determinar as coordenadas de AE em função de k 2 pontos Escrever AB AE = 0 4 pontos Obter o valor de k 3 pontos Escrever as coordenadas do vértice E ((−6,6,9)) 1 ponto