Números Complexos: Raízes Cúbicas - Exame Matemática A 12º Ano 2022

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Considere, em C, conjunto dos números complexos, o número complexo z = (4 / (1 - i)) + 4i^18.
O número complexo z é uma das raízes cúbicas de um número complexo w.
Determine as restantes raízes cúbicas de w e apresente-as na forma trigonométrica.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Identificar i18 com -1 2 pontos 4 4(1+i) Substituir por 2 pontos 1-i (1-i)(1 + i) Obter z = -2 + 2i 2 pontos Obter z na forma trigonométrica (2√2ei3π/4) 2 pontos Obter |z| 1 ponto Obter um argumento de z 1 ponto Reconhecer que as restantes raízes cúbicas de w são 2√2e(i(3π/4 + 2kπ)/3), k∈ {1,2} 2 pontos Obter os números pedidos (2√2ei11π/12e2√2ei19π/12) 2 pontos 2.º Processo Identificar i18 com -1 2 pontos 4 4(1+i) Substituir por (1-i)(1+i) 2 pontos 1-i Obter z = -2 + 2i 2 pontos Obter z na forma trigonométrica (2√2ei3π/4) 2 pontos Obter |z| 1 ponto Obter um argumento de z 1 ponto Reconhecer que w = z3 1 ponto Determinar w 1 ponto Reconhecer que as raízes cúbicas de w são 2√2e(i(3π/4 + 2kπ)/3), k∈ {0, 1, 2} 2 pontos Obter os números pedidos (2√2ei11π/12e2√2ei19π/12) 2 pontos