Estudo de Concavidades e Pontos de Inflexão - Matemática A 12º Ano (2022)

Seja g uma função derivável, de domínio ]−∞, π[ {0}, cuja derivada, g', é dada por g'(x) = { 3e^(2x) - 7e^x se x < 0 ; x + 2 cos²x se 0 < x < π }.
Resolva os itens 9.
1.
e 9.
2.
sem recorrer à calculadora.
Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão, no intervalo ]0, π[.
Na sua resposta, apresente:
– o(s) intervalo(s) em que o gráfico de g tem concavidade voltada para baixo; – o(s) intervalo(s) em que o gráfico de g tem concavidade voltada para cima; – a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de g.

Determinar g"(x) em ]0, π[ (ver nota 1) 3 pontos Escrever g"(x) = 0 1 ponto Determinar os zeros de g"(x) em ]0, π[ 3 pontos Apresentar um quadro de sinal de g" e de sentido das concavidades do gráfico de g em ]0, π[ (ou equivalente) 4 pontos Apresentar os intervalos em que a concavidade do gráfico da função é voltada para cima e em que é voltada para baixo, em ]0, π[ (ver nota 2) 1 ponto Indicar as abcissas dos pontos de inflexão (π/12 e 5π/12) 2 pontos Notas: 1. Se for evidente a intenção de determinar a segunda derivada da função, a pontuação mínima a atribuir nesta etapa é 1 ponto. 2. Se for referido que a função g tem concavidade voltada para cima em ]0, π/12[ e ]5π/12, π[, em vez de ]0, π/12] e [5π/12, π[, e voltada para baixo em ]π/12, 5π/12], esta etapa deve ser considerada cumprida.