Matemática B 11º Ano: Otimização de Custos com Programação Linear (2023)

Uma empresa do sector da alimentação decidiu produzir dois suplementos alimentares, I e II, ambos feitos à base de maçã, amendoim e chocolate.
Cada embalagem do suplemento I tem o custo de 2,00 € e contém 0,4 kg de maçã, 0,5 kg de amendoim e 0,6 kg de chocolate.
Cada embalagem do suplemento II tem o custo de 1,50 € e contém 0,6 kg de maçã, 0,5 kg de amendoim e 0,4 kg de chocolate.
Para otimizar a produção, a empresa tem de gastar, diariamente, pelo menos, 140 kg de maçã, pelo menos, 150 kg de amendoim e, pelo menos, 140 kg de chocolate.
A empresa não consegue produzir mais do que 350 embalagens por dia.
Quantas embalagens do suplemento I e quantas embalagens do suplemento II devem ser produzidas, diariamente, pela empresa, para que o custo total diário da produção dos dois suplementos seja mínimo? Na sua resposta, designe por x o número de embalagens do suplemento I e por y o número de embalagens do suplemento II a produzir, diariamente, pela empresa, e apresente:
a função objetivo; as restrições do problema; uma representação gráfica referente ao sistema de restrições; o valor de x e o valor de y correspondentes à solução do problema.

Identificar a função objetivo (C(x, y) = 2x + 1,5y) 1 ponto Identificar as restrições 0,4x + 0,6y ≥ 140, 0,5x + 0,5y ≥ 150, 0,6x + 0,4y ≥ 140 e x + y ≤ 350 (4 x 1) 4 pontos Identificar as restrições x ≥ 0 e y ≥ 0 1 ponto Representar graficamente a região admissível 5 pontos Representar graficamente as retas de equações 0,4x + 0,6y = 140, 0,5x + 0,5y = 150, 0,6x + 0,4y = 140 e x + y = 350 (4 x 1) 4 pontos Assinalar o polígono 1 ponto Obter as coordenadas dos vértices do polígono ((350, 0), (200, 100), (100, 200) e (0, 350)) (4 x 1) 4 pontos Calcular o custo correspondente a cada um dos vértices do polígono (ou implementar o método da paralela à reta de nível zero; ver nota) (4 x 1) 4 pontos Apresentar os valores pedidos (100 embalagens do suplemento I e 200 embalagens do suplemento II) 1 ponto Nota – No caso de ser implementado o método da paralela à reta de nível zero, se apenas for representada, corretamente, esta reta, a pontuação a atribuir nesta etapa é 1 ponto.