Matemática B 11º Ano - Otimização Linear: Maximização de Vendas (Exame 2023)

Uma empresa decidiu produzir dois tipos de concentrado de frutas, ambos feitos à base de maçã, pera e romã.
Cada quilograma de concentrado do tipo I é vendido a 2,50 € e contém 0,45 kg de maçã, 0,40 kg de pera e 0,15 kg de romã.
Cada quilograma de concentrado do tipo II é vendido a 3,00 € e contém 0,40 kg de maçã, 0,25 kg de pera e 0,35 kg de romã.
A empresa dispõe, diariamente, de 218,50 kg de maçã, de 168,15 kg de pera e de 140,00 kg de romã.
A empresa tem garantida a venda de toda a produção diária dos dois tipos de concentrado.
Quantos quilogramas de concentrado do tipo I e quantos quilogramas de concentrado do tipo II devem ser produzidos, diariamente, pela empresa, para que o valor de vendas do total dos dois concentrados seja máximo? Na sua resposta, designe por x o número de quilogramas de concentrado do tipo I e por y o número de quilogramas de concentrado do tipo II a produzir, diariamente, pela empresa, e apresente:
– a função objetivo; – as restrições do problema; – uma representação gráfica referente ao sistema de restrições; – o valor de x e o valor de y correspondentes à solução do problema.

Identificar a função objetivo (L(x, y) = 2,5x + 3y) ........................................ 1 ponto Identificar as restrições 0,45x + 0,40y ≤ 218,50, 0,40x + 0,25y ≤ 168,15 e 0,15x + 0,35y ≤ 140 ............................................................................ (3 x 1)................... 3 pontos Identificar as restrições x ≥ 0 e y ≥ 0 ................................................................ 1 ponto Representar graficamente a região admissível ...................................................... 5 pontos Representar graficamente as retas de equações 0,45x + 0,40y = 218,50, 0,40x + 0,25y = 168,15 e 0,15x + 0,35y = 140 ....................................................................... (3 x 1)................... 3 pontos Assinalar a região admissível ................................................................................ 2 pontos Obter as coordenadas dos vértices do polígono, exceto a origem ((420,375; 0), (266; 247), (210; 310) e (0; 400)) ........................................ (4 × 1)................... 4 pontos Calcular o custo correspondente a cada um dos vértices do polígono, exceto a origem (ou implementar o método da paralela à reta de nível zero – ver nota) ........................................................................................................ (4 x 1) .................... 4 pontos Apresentar os valores pedidos (210 kg de concentrado do tipo I e 310 kg de concentrado do tipo II). .......................................................................... 2 pontos Nota – No caso de ser implementado o método da paralela à reta de nível zero, se apenas for representada, corretamente, esta reta, a pontuação a atribuir nesta etapa é 1 ponto.