Progressões Aritméticas: O Problema dos Círculos (Matemática B 11º Ano - Exame 2023)

O neto do Sr.
Ferreira está a treinar a escrita das letras maiúsculas.
Para o ajudar nessa aprendizagem, o Sr.
Ferreira desenhou, numa folha, círculos iguais e tangentes, dispostos como a Figura 1 sugere.
(FIGURA 1 e 2) A atividade que o neto do Sr.
Ferreira deve executar é a seguinte:

• começar por escrever a letra A nos dois círculos sombreados na Figura 1;
• de seguida, escrever a letra B em todos os círculos tangentes a algum dos dois círculos assinalados com a letra A, como se ilustra na Figura 2;
• e assim sucessivamente, seguindo o alfabeto, assinalando, para cada letra, todos os círculos tangentes a, pelo menos, um círculo que esteja assinalado com a letra anterior.
Determine quantos círculos serão assinalados com a 15.
ª letra do alfabeto.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Reconhecer que os números de círculos assinalados em cada etapa são termos consecutivos de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 2 ................... 3 pontos Indicar a razão dessa progressão (2) ..................................................................... 4 pontos Escrever uma expressão que permita calcular o termo de ordem 15 ................... 5 pontos Obter o valor pedido (30 círculos) .......................................................................... 4 pontos 2.º Processo Obter o número de círculos que foram assinalados em cada etapa, da 1.ª à 14.ª (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26 e 28) ........................................ 14 pontos Apresentar o valor pedido (30 círculos) ................................................................ 2 pontos