Sequências e PA: Círculos Tangentes e a Soma de Termos | Matemática B 11º Ano 2023

O neto do Sr.
Ferreira está a treinar a escrita das letras maiúsculas.
Para o ajudar nessa aprendizagem, o Sr.
Ferreira desenhou, numa folha, círculos iguais e tangentes, dispostos como a Figura 1 sugere.
(FIGURA 1 e 2) A atividade que o neto do Sr.
Ferreira deve executar é a seguinte:

• começar por escrever a letra A nos dois círculos sombreados na Figura 1;
• de seguida, escrever a letra B em todos os círculos tangentes a algum dos dois círculos assinalados com a letra A, como se ilustra na Figura 2;
• e assim sucessivamente, seguindo o alfabeto, assinalando, para cada letra, todos os círculos tangentes a, pelo menos, um círculo que esteja assinalado com a letra anterior.
Num certo momento da execução da atividade, o Sr.
Ferreira verificou que o neto já tinha assinalado um total de 72 círculos.
Qual foi a letra escrita no 72.
º círculo? Justifique a sua resposta.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Escrever uma expressão para o termo de ordem n (2 + 2(n − 1), ou equivalente) .................................................................................... 3 pontos Escrever uma expressão para a soma de n termos consecutivos ( (2 + 2 + 2(n − 1)) / 2 × n, ou equivalente ) ....................................................................... 3 pontos Igualar a expressão anterior a 72 ........................................................................... 2 pontos Resolver a equação (2 + 2 + 2(n − 1)) / 2 × n = 72 (ou equivalente) .................... 5 pontos Esta etapa pode ser resolvida por, pelo menos, três processos. Processo A Apresentar uma tabela com os primeiros oito termos da sucessão de termo geral n² + n ......................................................................... 3 pontos Identificar o valor de n (8) ................................................................... 2 pontos Processo B Obter n² + n − 72 = 0 (ou equivalente) .............................................. 3 pontos Obter n = 8 .......................................................................................... 2 pontos Processo C Representar graficamente a função definida por y = x² + x (ver nota) ............................................................................................. 2 pontos Representar graficamente a reta de equação y = 72 (ver nota) ............................................................................................. 1 ponto Assinalar o ponto de intersecção dos gráficos de abcissa positiva .................................................................................... 1 ponto Obter n = 8 .......................................................................................... 1 ponto Concluir que tinha sido escrita a letra H ................................................................ 3 pontos Nota – Se não for representado o referencial, a soma das pontuações a atribuir nestes passos é desvalorizada em 2 pontos. 2.º Processo Indicar o número de círculos assinalados da 1.ª etapa à 8.ª etapa (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 e 16) ............................................................................... 8 pontos Obter a soma desses números (72) ....................................................................... 5 pontos Concluir que tinha sido escrita a letra H ................................................................ 3 pontos