Área Sombreada com Circunferências Tangentes (Matemática B 11º Ano - Exame 2023)

Um biombo decorado com motivos geométricos, existente na casa da quinta do Sr.
Ferreira, tem desenhadas circunferências no seu painel central, como se ilustra na Figura 6.
Na Figura 7, representa-se uma parte do painel central do biombo, que tem quatro dessas circunferências.
No esquema da Figura 7, que não está à escala, estão representados:

• um quadrado, [ABCD];
• quatro circunferências geometricamente iguais, de raio igual a 10 cm, tangentes entre si e tangentes aos lados do quadrado;
• as duas diagonais do quadrado;
• duas regiões sombreadas, na zona central do quadrado.
(IMAGENS FIGURAS 6 E 7)
Determine a área total das regiões sombreadas na zona central do quadrado representado na Figura 7.
Apresente o resultado em centímetros quadrados, arredondado às unidades.
Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Considerar um quadrado de lado 20 cm .............................................................. 3 pontos Obter a área desse quadrado (400) ..................................................................... 1 ponto Obter a área de um círculo de raio 10 cm (314,159...) ...................................... 3 pontos Obter a diferença entre as duas áreas (85,840...) ............................................. 4 pontos Obter metade desta diferença (42,920...) .......................................................... 4 pontos Apresentar o valor pedido (43 cm²) .................................................................... 1 ponto 2.º Processo Considerar um quadrado de lado 10 cm .............................................................. 3 pontos Obter a área desse quadrado (100) ..................................................................... 1 ponto Obter a área de um quarto de círculo de raio 10 cm (78,539...) ....................... 3 pontos Obter a diferença entre as duas áreas (21,460...) ............................................. 4 pontos Obter o dobro desta diferença (42,920...) .......................................................... 4 pontos Apresentar o valor pedido (43 cm²) .................................................................... 1 ponto