Matemática B 11º Ano (2023) | Cálculo do Raio da Roda com Funções Trigonométricas

Os esquemas I e II, da Figura 9, mostram o modelo de uma das primeiras bicicletas, com as rodas assentes num solo plano e horizontal.
Com a bicicleta imobilizada, foram assinalados os pontos A e B, sendo A o ponto da roda traseira e B o ponto da roda dianteira que estão em contacto com o solo e à distância de 90 cm um do outro, como se sugere no esquema I.
Posteriormente, a bicicleta foi posta em movimento durante 10 segundos.
Sabe-se que andou em linha reta a uma velocidade constante, que as duas rodas se mantiveram num mesmo plano vertical, e que nenhuma das rodas derrapou, nem patinou, nem rodou para trás.
No esquema II, ilustra-se uma das posições dos pontos A e B durante esse movimento.
Considerando que a espessura dos pneus é desprezável, admita que, t segundos após a bicicleta ter sido posta em movimento, as distâncias ao solo, em centímetros, dos pontos A e B são dadas, respetivamente, por a(t) = 20 - 20 cos((25π/16)t) e por b(t) = 62,5 – 62,5 cos((π/2)t), com 0 ≤ t ≤ 10.
O argumento da função cosseno está em radianos.
(IMAGEM FIGURA 9)
Mostre que o raio da roda traseira mede 20 cm.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Reconhecer que a distância mínima do ponto A ao solo é 0 cm .................. 3 pontos Representar graficamente a função a (ver nota) ......................................... 4 pontos Assinalar um ponto do gráfico cuja ordenada seja o valor máximo da função a ...................................................................................................... 4 pontos Obter a ordenada desse ponto (40) ................................................................. 2 pontos Concluir que o raio da roda é 20 cm ................................................................ 3 pontos Nota – Se for representada uma restrição da função a num intervalo de extremos 0 e m, com 0 < m ≤ 10, que permita visualizar um ponto relevante para a resolução do problema, a pontuação a atribuir nesta etapa não é desvalorizada. Se for representado um prolongamento da função a, a pontuação a atribuir nesta etapa é desvalorizada em 1 ponto. Se não for representado o referencial, a pontuação a atribuir nesta etapa é desvalorizada em 2 pontos. 2.º Processo Referir que o argumento da função cosseno toma valores de um intervalo com amplitude superior a 2π ................................................................................. 1 ponto Escrever −1 ≤ cos((25π/16)t) ≤ 1 ................................................................ 5 pontos Escrever −20 ≤ −20 cos((25π/16)t) ≤ 20 ...................................................... 4 pontos Escrever 0 ≤ 20 − 20 cos((25π/16)t) ≤ 40 .................................................. 3 pontos Concluir que o raio da roda é 20 cm ................................................................ 3 pontos