Soluções de $z^2 = w$ em Complexos | Matemática A 12º Ano 2023

Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Considere, em $mathbb{C}$, conjunto dos números complexos, o número $w = \frac{e^{\frac{ipi}{2}} - i^{17}}{i}$.
Determine, em $mathbb{C}$, as soluções da equação $z^2 = w$.
Apresente os valores pedidos na forma $a+bi$, com $a, b in mathbb{R}$.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Substituir i^17 por i .............................................................................................. 1 ponto Obter e^(i5π/6) - i = -√3/2 - 1/2 i .......................................................................... 3 pontos Obter w = -1/2 + √3/2 i ....................................................................................... 2 pontos Obter w = e^(i2π/3) ............................................................................................. 2 pontos Obter e^(iπ/3) e e^(i4π/3) como soluções da equação z^2 = w .................................... 4 pontos Obter os valores pedidos (1/2 + √3/2 i e -1/2 - √3/2 i) ..................................... 2 pontos 2.º Processo Substituir i^17 por i .............................................................................................. 1 ponto Obter e^(i5π/6) - i = -√3/2 - 1/2 i .......................................................................... 3 pontos Obter w = -1/2 + √3/2 i ....................................................................................... 2 pontos Escrever (a + bi)^2 = -1/2 + √3/2 i .................................................................... 2 pontos Obter a^2 - b^2 = -1/2 ∧ 2ab = √3/2 ................................................................... 2 pontos Obter os valores de a e de b ........................................................................... 2 pontos Apresentar os valores pedidos (1/2 + √3/2 i e -1/2 - √3/2 i) ............................. 2 pontos