Exame 2023 Matemática A: Teorema de Bolzano-Cauchy e Interseção de Funções Trigonométricas

Seja f a função, de domínio $[0, pi]$, definida por $f(x) = \text{sen}(2x) + x$, e seja r a reta de equação $y = -x + 2$.
Resolva este item sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.
Mostre, recorrendo ao teorema de Bolzano-Cauchy, que o gráfico da função f intersecta a reta r em, pelo menos, um ponto de abcissa pertencente ao intervalo $left[\frac{pi}{6}, \frac{pi}{3}
ight]$.

Equacionar o problema ( f(x) = −x + 2 , ou equivalente) ............................... 2 pontos Considerar a função g , definida por g(x) = f(x) + x − 2 ................................ 2 pontos Referir que a função g é contínua em [π/6, π/3] (ver notas 1 e 2). ................. 2 pontos Determinar g(π/6) ............................................................................................. 2 pontos Determinar g(π/3) ............................................................................................. 2 pontos Concluir que g(π/6) < 0 < g(π/3) (ou equivalente) ...................................... 2 pontos Concluir o pretendido ......................................................................................... 2 pontos Notas: 1. Se apenas for referido que a função g é contínua, esta etapa é considerada como cumprida. 2. Se for referido que a função g é contínua em ]π/6, π/3[, a pontuação a atribuir nesta etapa é 0 pontos.