Matemática A 12º Ano: Ponto de Tangência de Reta e Função - Exame 2023

Sejam a e b números reais, não nulos, tais que a reta de equação $y = ax + b$ é tangente ao gráfico da função $f$, de domínio $mathbb{R}$, definida por $f(x) = ax^2 + bx$.
Determine as coordenadas do ponto de tangência.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Reconhecer que, como f é uma função quadrática, a reta é tangente ao gráfico de f se a equação ax^2 + bx = ax + b tiver apenas uma solução ....... 3 pontos Reconhecer que a equação anterior tem apenas uma solução se (b – a)^2 + 4ab = 0 ........................................................................................ 3 pontos Concluir que b = –a .......................................................................................... 2 pontos Substituir b por –a na equação ax^2 + bx = ax + b ......................................... 2 pontos Obter a solução da equação anterior ................................................................... 2 pontos Obter o pedido ((1, 0)) ....................................................................................... 2 pontos 2.º Processo Determinar f'(x) (ver nota) .............................................................................. 2 pontos Obter a solução da equação f'(x) = a em função de a e de b ........................ 2 pontos Obter as coordenadas do ponto de tangência em função de a e de b .............. 3 pontos Substituir, na equação y = ax + b, x e y, respetivamente, pela abcissa e pela ordenada do ponto de tangência ........................................................... 2 pontos Concluir que b = –a .......................................................................................... 3 pontos Obter o pedido ((1, 0)) ....................................................................................... 2 pontos Nota: Se for evidente a intenção de determinar a derivada da função, a pontuação mínima a atribuir nesta etapa é 1 ponto.