Estudo de Concavidades e Pontos de Inflexão (Matemática A 12.º Ano 2023)

Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Seja f uma função diferenciável, de domínio R, cuja derivada, f', é dada por $f'(x) = -2xe^{1-x²}$.
Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.
Na sua resposta, apresente:
o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo; o(s) intervalo(s) em que o gráfico de f tem concavidade voltada para cima; a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de f, caso este(s) exista(m).

Determinar f''(x) (ver nota 1) ................................................................................ 3 pontos Escrever f''(x) = 0 ................................................................................................. 1 ponto Determinar os zeros de f'' ..................................................................................... 3 pontos Apresentar um quadro de sinal de f'' e de sentido das concavidades do gráfico de f (ou equivalente) .................................................................................. 4 pontos Apresentar os intervalos em que a concavidade do gráfico de f é voltada para cima e os intervalos em que é voltada para baixo (ver nota 2) .......... 2 pontos Indicar as abcissas dos pontos de inflexão ( -√2/2 e √2/2, ou equivalente) ..... 1 ponto Notas: 1. Se for evidente a intenção de determinar a segunda derivada da função, a pontuação mínima a atribuir nesta etapa é 1 ponto. 2. Se for referido que o gráfico da função f tem concavidade voltada para cima em ]-∞, -√2/2[ e ]√2/2, +∞[, em vez de ]-∞, -√2/2] e [√2/2, +∞[, e voltada para baixo em ]-√2/2, √2/2[, em vez de [-√2/2, √2/2], esta etapa deve ser considerada cumprida.