Coordenadas de Ponto C (Prisma) | Matemática A 2023 (12º Ano)

Na Figura 2, está representado, em referencial o.
n.
Oxyz, o prisma triangular reto [OABCDE], de bases [ABC] e [OED].
Sabe-se que:

• as bases do prisma estão inscritas em semicircunferências, respetivamente, de diâmetros [AB] e [OE];
• os vértices A e E do prisma pertencem, respetivamente, aos semieixos positivos Ox e Oy;
• OE = 12,5 ;
• a reta AC é definida pela equação vetorial (x, y, z) = (10, 0, 0) + k(0, 4, 3), k∈R.
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Determine as coordenadas do ponto C.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, três processos. 1.º Processo Reconhecer que a reta AC é perpendicular ao plano BCD ................................ 1 ponto Identificar o vetor de coordenadas (0, 4, 3) como vetor normal ao plano BCD ................................................................................................ 1 ponto Obter as coordenadas de um ponto do plano BCD ........................................... 2 pontos Obter uma equação do plano BCD ..................................................................... 4 pontos Escrever 4y + 3z + d = 0 (ou equivalente) .................................................. 2 pontos Escrever 4×12,5 + 3 × 0 + d = 0 ............................................................ 1 ponto Obter o valor de d (–50) ............................................................................. 1 ponto Reconhecer que as coordenadas do ponto C são da forma (10, 4k, 3k) .......... 2 pontos Obter 16k + 9k – 50 = 0 ..................................................................................... 2 pontos Obter o valor de k (2) ......................................................................................... 1 ponto Obter o pedido ((10, 8, 6)) ................................................................................. 1 ponto 2.º Processo Reconhecer que as coordenadas do ponto A são (10, 0, 0) ............................... 1 ponto Reconhecer que as coordenadas do ponto B são (10; 12,5; 0) .......................... 1 ponto Reconhecer que as coordenadas do ponto C são da forma (10, 4k, 3k) .......... 2 pontos Reconhecer que os vetores AC e BC são perpendiculares .............................. 1 ponto Obter as coordenadas de AC em função de k ................................................. 1 ponto Obter as coordenadas de BC em função de k ................................................. 1 ponto Escrever AC . BC = 0 ......................................................................................... 2 pontos Obter 25k^2 – 50k = 0 ......................................................................................... 2 pontos Obter o valor de k (2) ......................................................................................... 2 pontos Obter o pedido ((10, 8, 6)) ................................................................................. 1 ponto 3.º Processo Reconhecer que as coordenadas do ponto A são (10, 0, 0) ............................... 1 ponto Reconhecer que as coordenadas do ponto B são (10; 12,5; 0) .......................... 1 ponto Reconhecer que as coordenadas do ponto C são da forma (10, 4k, 3k) .......... 2 pontos Reconhecer que o ponto C pertence à superfície esférica definida pela equação (x-10)^2 + (y-25/4)^2 + z^2 = (25/4)^2 .................................... 4 pontos Escrever 0^2 + (4k-25/4)^2 + (3k)^2 = (25/4)^2 ............................................. 2 pontos Obter o valor de k (2) ......................................................................................... 3 pontos Obter o pedido ((10, 8, 6)) ................................................................................. 1 ponto