Exame Matemática A 2023 | Limites, Assíntotas e Concavidade de Funções

Sejam f e g funções duas vezes diferenciáveis, de domínios $mathbb{R}$ e $]0, + infty[$, respetivamente, e seja r a reta de equação $y = 2x - 1$.
Sabe-se que:

• a reta r é tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 1;
• $lim_{x o +infty} (f(x) - 2x + 1) = 0$ ;
• nos respetivos domínios, o gráfico de f tem concavidade voltada para cima e o gráfico de g tem concavidade voltada para baixo.
Considere as proposições seguintes.
I.
O gráfico da função f admite uma assíntota horizontal quando x tende para $+infty$.
II.
$lim_{x o 1} g(x) = 2$.
III.
$f''(x) < g''(x), forall x in ]0, + infty[$.
Justifique que as proposições I, II e III são falsas.
Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.

Tópicos de resposta • Justifica que a proposição I é falsa: Dado que lim (x->+∞) (f(x) - 2x + 1) = 0, a reta de equação y = 2x −1 é assíntota oblíqua ao gráfico de f em +∞, pelo que não existe assíntota horizontal ao gráfico de f em +∞. • Justifica que a proposição II é falsa: Dado que a reta de equação y = 2x - 1 é tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa 1, g(1)=1 e, como g é diferenciável e, por conseguinte, contínua, lim (x->1) g(x) = 1. • Justifica que a proposição III é falsa: Dado que o gráfico de f tem concavidade voltada para cima e o gráfico de g tem concavidade voltada para baixo, f''(x)≥0, ∀x∈R e g''(x)≤0, ∀ x ∈ ]0, + ∞[, pelo que f''(x) ≥ g''(x), ∀ x ∈ ]0, + ∞[ .

Parâmetros	Níveis	Descritores de desempenho	Pontuação
A Conteúdos	5	Apresenta, de forma completa, as três justificações.	12
	4	Apresenta, de forma completa, duas justificações e, de forma incompleta, uma justificação.	10
	3	Apresenta, de forma completa, apenas duas justificações. OU Apresenta, de forma completa, uma justificação e, de forma incompleta, duas justificações.	8
	2	Apresenta, de forma completa, apenas uma justificação e, de forma incompleta, apenas outra justificação. OU Apresenta, de forma incompleta, as três justificações.	5
	1	Apresenta, de forma completa, apenas uma justificação. OU Apresenta, de forma incompleta, apenas duas justificações.	3
	B Linguagem científica	2	Utiliza adequadamente o vocabulário específico da Matemática.	2
1		Utiliza, embora com uma ou mais falhas, o vocabulário específico da Matemática.	1