Geometria Analítica e Tangentes: Área Triângulo | Matemática A 12º 2023

Considere as funções f e g, de domínio ]0, + ∞[, definidas por f(x) = k/x e por g(x) = -k/x, com k ≥ 0.
Considere ainda:

• dois pontos P e Q, com a mesma abcissa, pertencentes, respetivamente, ao gráfico da função f e ao gráfico da função g;
• a reta s, tangente ao gráfico da função f no ponto P;
• a reta t, tangente ao gráfico da função g no ponto Q;
• o ponto R, ponto de intersecção das retas s e t.
Mostre que, qualquer que seja a abcissa dos pontos P e Q, a área do triângulo [PQR] é igual a k.

Designe-se por a a abcissa dos pontos P e Q. Reconhecer que as ordenadas dos pontos P e Q são, respetivamente, k/a e -k/a 2 pontos Determinar f'(x) e g'(x) 2 pontos Obter as equações das retas tangentes aos gráficos das funções f e g, respetivamente, nos pontos P e Q 2 pontos Determinar as coordenadas do ponto R 2 pontos Reconhecer que a é a altura do triângulo [PQR] relativa ao lado [PQ] 2 pontos Reconhecer que 2k/a é o comprimento de [PQ] 2 pontos Concluir o pretendido 2 pontos