Geometria Analítica: Determinar Vértice de Prisma (Matemática A 12º Ano 2023)

Na Figura 3, está representado, em referencial o.
n.
Oxyz, o prisma hexagonal reto [ABCDEFGHIJKL], de bases [ABCDEF] e [GHIJKL].
Sabe-se que:

• as coordenadas dos vértices A e G do prisma são, respetivamente, (4,0,0) e (12, 13/2, 2);
• a reta EL é definida pela equação vetorial (x, y, z) = (-2, -8, 4) + k(3, 4, 0), k∈R.
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Determine as coordenadas do vértice F do prisma.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Reconhecer que a reta EL é perpendicular ao plano ABC 1 ponto Identificar o vetor de coordenadas (3, 4, 0) como vetor normal ao plano ABC 1 ponto Obter uma equação do plano ABC 4 pontos Escrever 3x + 4y + d = 0 2 pontos Escrever 3×4 + d = 0 1 ponto Obter o valor de d (-12) 1 ponto Reconhecer que a reta FG é paralela à reta EL 2 pontos Reconhecer que as coordenadas do ponto F são da forma (12+3k, 13/2 + 4k, 2) 2 pontos Escrever 3(12+3k) + 4(13/2 + 4k) − 12 = 0 (ou equivalente) 1 ponto Obter o valor de k (-2) 2 pontos Obter o pedido ((6, -3/2, 2)) 1 ponto 2.º Processo Sejam (a, b, c) as coordenadas do ponto F. Reconhecer que o vetor AF é perpendicular ao vetor de coordenadas (3,4,0) 2 pontos Determinar, em função de a, b e c, as coordenadas do vetor AF 2 pontos Escrever 3(a−4) + 4b = 0 (ou equivalente) 2 pontos Reconhecer que o vetor GF é colinear com o vetor de coordenadas (3,4,0) 2 pontos Determinar, em função de a, b e c, as coordenadas do vetor GF 2 pontos Escrever (a-12)/3 = (b-13/2)/4 ∧ c-2=0 (ou equivalente) 2 pontos Obter o pedido ((6, -3/2, 2)) 2 pontos