Matemática B 11.º Ano (2024) - Progressões Aritméticas em Aplicação Geométrica

Viajando por Portugal, podemos contemplar vários monumentos comemorativos do 25 de Abril de 1974.
Nas figuras 4 e 5, apresentam-se dois exemplos de monumentos comemorativos localizados, respetivamente, em Fafe e em Marco de Canaveses.
Inspirado nestes monumentos, um outro município pretende construir um conjunto de 25 pórticos retangulares, colocados sequencialmente no jardim municipal, com as características seguintes:

• cada pórtico tem uma trave horizontal com 75 cm de comprimento e dois postes iguais, colocados na vertical;
• a altura de cada pórtico corresponde ao comprimento de cada um dos seus postes colocados na vertical;
• o primeiro pórtico tem 75 cm de altura;
• cada pórtico, a partir do primeiro, tem mais 15 cm de altura do que o pórtico anterior.
Na Figura 6, que não está à escala, apresenta-se o esquema dos quatro primeiros pórticos.
Na construção dos pórticos, será utilizado tubo de ferro oxidado.
Não tenha em consideração a espessura dos postes nem das traves.
Determine o comprimento total de tubo necessário para a construção dos 25 pórticos.
Apresente o resultado em metros.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, quatro processos. 1.º Processo Reconhecer que as somas dos comprimentos dos três tubos que constituem cada pórtico são termos consecutivos de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 225 cm ou 2,25 m - 4 pontos Reconhecer que a razão da progressão é 30 cm ou 0,30 m - 2 pontos Escrever uma expressão que permita calcular o termo de ordem 25 - 4 pontos Obter o termo de ordem 25 (945 cm ou 9,45 m) - 2 pontos Escrever uma expressão para a soma dos 25 termos - 4 pontos Obter o valor pedido (146,25 m) - 2 pontos 2.º Processo Reconhecer que as alturas dos pórticos são termos consecutivos de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 75 cm ou 0,75 m - 1 ponto Reconhecer que a razão da progressão é 15 cm ou 0,15 m - 2 pontos Escrever uma expressão que permita calcular o termo de ordem 25 - 4 pontos Obter o termo de ordem 25 (435 cm ou 4,35 m) - 2 pontos Escrever uma expressão para a soma dos 25 termos - 3 pontos Calcular o valor da expressão anterior (6375 cm ou 63,75 m) - 2 pontos Obter a soma dos comprimentos das 25 traves (1875 cm ou 18,75 m) - 1 ponto Obter o valor pedido (146,25 m) - 3 pontos 3.º Processo Reconhecer que as somas dos comprimentos dos postes de cada pórtico são termos consecutivos de uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 150 cm ou 1,5 m - 2 pontos Reconhecer que a razão da progressão é 30 cm ou 0,30 m - 2 pontos Escrever uma expressão que permita calcular o termo de ordem 25 - 4 pontos Obter o termo de ordem 25 (870 cm ou 8,7 m) - 2 pontos Escrever uma expressão para a soma dos 25 termos - 3 pontos Calcular o valor da expressão anterior (12 750 cm ou 127,5 m) - 2 pontos Obter a soma dos comprimentos das 25 traves (1875 cm ou 18,75 m) - 1 ponto Obter o valor pedido (146,25 m) - 2 pontos 4.º Processo Obter a soma dos comprimentos dos três tubos que constituem o 1.º pórtico (225 cm ou 2,25 m) - 2 pontos Obter a soma dos comprimentos dos três tubos que constituem cada pórtico, do 2.º ao 25.º - 10 pontos Escrever uma expressão para a soma dos 25 termos - 4 pontos Obter o valor pedido (146,25 m) - 2 pontos