Geometria Analítica: Altura Estrutura (Matemática B 11.º Ano, Exame 2024)

Um artista plástico vai utilizar uma estrutura com três barras de ferro fundido para criar uma instalação artística comemorativa do 25 de Abril de 1974, como se ilustra na Figura 7.
A Figura 8 é um esquema dessa estrutura, representado em referencial ortogonal e monométrico, Oxyz.
No referencial, a unidade é o metro.
Sabe-se que:

• o plano xOy representa o solo;
• [AB], [CD] e [OM] representam as barras de ferro que formam a estrutura;
• os pontos A e B pertencem ao eixo Ox;
• o ponto C pertence ao semieixo positivo Oy;
• o ponto D pertence ao plano yOz;
• os pontos O e M são, respetivamente, os pontos médios de [AB] e [CD];
• [OM]⊥[CD];
• AB = CD = 5 m e OM = 6 m.
A altura da estrutura é a distância do ponto representado por D ao solo.
Determine a altura da estrutura.
Apresente o resultado em metros, arredondado às centésimas.
Em cálculos intermédios, se proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Obter OC Escrever OC² = 6² + 2,5² - 3 pontos Obter OC² = 42,25 - 1 ponto Obter OC = 6,5 - 1 ponto Associar o valor pedido a DP (em que P é a projeção ortogonal do ponto D no eixo Oy) - 3 pontos Reconhecer que os triângulos [OMC] e [DPC] são semelhantes - 3 pontos Escrever 6,5/5 = 6/DP (ou equivalente) - 3 pontos Obter DP = 4,6153... - 3 pontos Apresentar o valor pedido (4,62 m) - 1 ponto 2.º Processo Associar o valor pedido a DP (em que P é a projeção ortogonal do ponto D no eixo Oy) - 3 pontos Escrever tg (MCO) = 6/2,5 (ou equivalente) - 4 pontos Obter MCO - 3 pontos Escrever sen(MCO) = DP/5 (ou equivalente) - 4 pontos Obter DP = 4,6153... - 3 pontos Apresentar o valor pedido (4,62 m) - 1 ponto