Números Complexos: Operações e Afixo (Matemática A 12º Ano 2024)

Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Em C, conjunto dos números complexos, considere o número complexo z = 4/(1+i) - 2/i⁷.
Determine o número complexo w tal que o número complexo z × w tenha módulo 5√2 e afixo pertencente à bissetriz do terceiro quadrante.
Apresente w na forma a + bi, com a,b∈R.

12. Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Identificar i⁷ com -i 1 ponto Obter z = 2−4i 3 pontos Escrever z × w = 5√2 e^(i3π/4) 3 pontos Obter z × w = −5 − 5 i 3 pontos Escrever w = (-5 − 5i) / (2 − 4i) 1 ponto Obter w = 1/2 + 3/2 i 3 pontos 2.º Processo Seja w = a + bi . Identificar i⁷ com -i 1 ponto Obter z = 2−4i 3 pontos Obter z × w = 2a + 4b + i(2b – 4a) 1 ponto Escrever 2a + 4b = 2b − 4a 1 ponto Obter b = −3a (ou equivalente) 1 ponto Obter z × w, com a parte real e com a parte imaginária em função de a (ou em função de b) 2 pontos Obter |z × w| em função de a (ou em função de b) 2 pontos Obter o valor de a e o valor de b 2 pontos Escrever o número complexo w (1/2 + 3/2 i) 1 ponto