Exame Matemática A 12.º Ano 2024: Tangência Reta-Parábola

Para certos valores reais de b e de m, não nulos, a reta de equação y = mx + 1 é tangente ao gráfico da função quadrática definida por f(x) = 2x² + bx + 5 num ponto cuja abcissa é positiva.
Determine a abcissa desse ponto.

13. Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Seja a a abcissa do ponto de tangência. Obter f'(x) (ver nota) 2 pontos Reconhecer que m = f'(a) 2 pontos Obter f'(a) = 4a + b 1 ponto Escrever 2a² + ba + 5 = (4a + b)a + 1 (ou equivalente) 4 pontos Resolver a equação anterior 3 pontos Apresentar o valor pedido (√2) 2 pontos Nota – Se for evidente a intenção de determinar a derivada da função, a pontuação mínima a atribuir a esta etapa é 1 ponto. 2.º Processo Reconhecer que a reta é tangente ao gráfico de f se a equação 2x² + bx + 5 = mx + 1 tiver apenas uma solução 3 pontos Obter 2x² + (b − m)x + 4 = 0 (ou equivalente) 2 pontos Escrever (b − m)² − 32 = 0 3 pontos Obter b − m = −√32 ∨ b − m = √32 2 pontos Obter x = −√2 ∨ x = √2 (ou equivalente) 2 pontos Apresentar o valor pedido (√2, ou equivalente) 2 pontos