Probabilidade em Geometria Espacial: Exame Matemática A 12º Ano 2024

Na Figura 1, está representado, em referencial o.
n.
Oxyz, o prisma reto [ABCDEFGH], de bases [ABCD] e [EFGH] .
Sabe-se que:

• as bases do prisma são trapézios retângulos;
• o ponto A tem coordenadas (4, -4, -3), e o ponto B tem a ordenada igual ao dobro da abcissa;
• uma equação da reta BC é (x, y, z) = (3, 5, 1) + k(2,3,6), k∈R.
Selecionam-se, ao acaso, dois vértices de cada uma das bases do prisma.
Determine a probabilidade de os quatro vértices selecionados não pertencerem a uma mesma face lateral do prisma.
Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

3.3. Este item pode ser resolvido por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Apresentar o número de casos possíveis (4C2×4C2) 6 pontos Apresentar o número de casos favoráveis (4× (4C2−1) + 2×4C2) ...(3 + 3)... 6 pontos Obter o valor pedido (8/9) (ver nota) 2 pontos 2.º Processo Reconhecer que a probabilidade pedida é a probabilidade do acontecimento contrário ao acontecimento «os quatro vértices selecionados pertencem a uma mesma face lateral do prisma» 2 pontos Calcular a probabilidade de os quatro vértices pertencerem a uma mesma face lateral do prisma 10 pontos Apresentar o número de casos possíveis (4C2×4C2) 4 pontos Apresentar o número de casos favoráveis (4) 4 pontos Obter a probabilidade (1/9) (ver nota) 2 pontos Obter o valor pedido (8/9) (ver nota) 2 pontos Nota – Se a etapa relativa ao número de casos possíveis e a etapa relativa ao número de casos favoráveis tiverem sido pontuadas com 0 pontos, a pontuação a atribuir a esta etapa é 0 pontos. A mesma pontuação de 0 pontos deve ser atribuída caso o valor obtido não pertença ao intervalo [0,1].