Exame Matemática A 12.º Ano 2024: Monotonia e Extremos de Função Definida por Ramos

Considere, para um certo valor de k real, a função g, de domínio R, definida por g(x) = { (1-x) / (e^(x-1) - 1) - e^(x-k) se x < 1; x² – 3x – 2 ln x se x ≥ 1 .
Resolva os itens 5.
1.
e 5.
2.
sem recorrer à calculadora.
Estude, no intervalo ]1,+ ∞[, a função g quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, e determine, caso existam, esses extremos.
Na sua resposta, apresente o(s) intervalo(s) de monotonia.

5.1. Determinar g'(x) em ]1,+ ∞[ (ver nota 1) 3 pontos Escrever g'(x) = 0 1 ponto Determinar o zero de g' em ]1,+ ∞[ 2 pontos Apresentar um quadro de sinal de g' e de monotonia de g no intervalo ]1, +∞[ (ou equivalente) 4 pontos Apresentar os intervalos de monotonia de g em ]1,+ ∞[ (ver nota 2) 2 pontos Reconhecer que g(2) é um extremo relativo 1 ponto Determinar g(2) (−2−2 ln 2, ou equivalente) 1 ponto Notas: 1. Se for evidente a intenção de determinar a derivada da função, a pontuação mínima a atribuir a esta etapa é 1 ponto. 2. Se for referido que a função g é decrescente em ]1, 2[, em vez de ]1, 2] e crescente em ]2, + ∞[, em vez de [2,+ ∞[, esta etapa deve ser considerada cumprida.