Continuidade de Funções: Determinação de k (Matemática A 12º Ano 2024)

Considere, para um certo valor de k real, a função g, de domínio R, definida por g(x) = { (1-x) / (e^(x-1) - 1) - e^(x-k) se x < 1; x² – 3x – 2 ln x se x ≥ 1 .
Resolva os itens 5.
1.
e 5.
2.
sem recorrer à calculadora.
Sabe-se que a função g é contínua em x = 1 .
Determine o valor de k.

5.2. Reconhecer que lim x→1⁻ g(x) = lim x→1⁺ g(x) (ou lim x→1⁺ g(x)= g(1)) 1 ponto Determinar lim x→1⁺ g(x) (ou g(1)) 2 pontos Reconhecer que lim x→1⁺ g(x) = lim x→1⁺ (x² – 3x – 2 ln x) 1 ponto (ou substituir x por 1 na expressão x² – 3x – 2 ln x) Obter lim x→1⁺ g(x) = -2 (ou g(1) = −2) 1 ponto Determinar lim x→1⁻ g(x) 9 pontos Reconhecer que lim x→1⁻ g(x) = lim x→1⁻ ( (1-x) / (e^(x-1) - 1) - e^(x-k) ) 1 ponto Escrever lim x→1⁻ ( (1-x) / (e^(x-1) - 1) - e^(x-k) ) = lim x→1⁻ (1-x) / (e^(x-1) - 1) - lim x→1⁻ e^(x-k) 1 ponto Escrever lim x→1⁻ (1-x) / (e^(x-1) - 1) - lim x→1⁻ e^(x-k) = lim y→0⁻ -y / (e^y - 1) - e^(1-k) 3 pontos Escrever lim y→0⁻ (-y / (e^y - 1)) = −1 2 pontos Obter lim x→1⁻ g(x) = −1− e^(1-k) 2 pontos Escrever -1- e^(1-k) = −2 1 ponto Obter o valor de k (1) 1 ponto