Exame Matemática A 12.º Ano 2024 (1.ª Fase): Continuidade e Assíntotas

Seja f uma função de domínio R.
Sabe-se que:

• para qualquer número real a, a≠2, lim(x→a) f(x) = f (a) ;
• lim(x→2⁻) f(x) = f(2), com f(2)>0, e lim(x→2⁺) f(x) = −∞ ;
• f (1) × f (3) < 0.
Considere as proposições seguintes.
I.
O teorema de Bolzano-Cauchy permite afirmar que a função f tem, pelo menos, um zero no intervalo ]1,3[.
II.
A reta de equação x = 2 é assíntota ao gráfico da função 1/f.
Justifique que as proposições I e II são falsas.
Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.

8. Tópicos de resposta • Justificação da falsidade da proposição I. Exemplo: A função ƒ não é contínua no intervalo [1,3], pois lim x→2 f(x) não existe (ou a função ƒ não é contínua em x = 2). Portanto, não é possível concluir que a função ƒ tem, pelo menos, um zero no intervalo ]1,3[ por aplicação do teorema de Bolzano-Cauchy. • Justificação da falsidade da proposição II. Exemplo: Como lim x→2⁻ (1/f(x)) = 1/f(2) e 1/f(2) é um número real, e como lim x→2⁺ (1/f(x)) = 0, a reta de equação x = 2 não é assíntota ao gráfico da função 1/f.

Parâmetro	Nível	Descritor de desempenho	Pontuação
A Conteúdos	4	Apresenta, de forma completa, as duas justificações solicitadas.	12
	3	Apresenta, de forma completa, uma das justificações solicitadas e, de forma incompleta, a outra justificação.	9
	2	Apresenta, de forma completa, apenas uma das justificações solicitadas. OU Apresenta, de forma incompleta, as duas justificações solicitadas.	6
	1	Apresenta, de forma incompleta, apenas uma das justificações solicitadas.	3
B Linguagem Científica	2	Utiliza adequadamente o vocabulário específico da Matemática.	2
	1	Utiliza, embora com uma ou mais falhas, o vocabulário específico da Matemática.	1