Análise de Derivadas e Concavidade - Matemática A 12.º Ano (Exame 2024)

Seja f uma função, de domínio R+, duas vezes diferenciável.
Relativamente à função f, sabe-se que:

• a função f', derivada da função f, é estritamente crescente no intervalo ]0, +∞[ ;
• f'(1) = 2 .
Considere as proposições seguintes.
I.
O gráfico da função f pode ter concavidade voltada para baixo em R+.
II.
No intervalo ]1, 5[, a função f tem, pelo menos, um extremo.
Justifique que as proposições I e II são falsas.
Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.

Tópicos de resposta • Justificar a falsidade da proposição I. Exemplo: Como a função $f$ é duas vezes diferenciável em $\mathbb{R}^+$ e $f'$ é estritamente crescente no intervalo $]0, +\infty[$, a função $f''$ será sempre não negativa nesse intervalo, pelo que, em $\mathbb{R}^+$, o gráfico da função $f$ não pode ter concavidade voltada para baixo. • Justificar a falsidade da proposição II. Exemplo: Como $f'(1)>0$ e $f'$ é estritamente crescente em $]0, +\infty[$, não existe qualquer zero de $f'$ no intervalo $]1, 5[$; logo, sendo $f$ diferenciável, não pode existir qualquer extremo da função $f$ nesse intervalo.

Parâmetro	Nível	Descritor de desempenho	Pontuação
A Conteúdos	4	Apresenta, de forma completa, as duas justificações solicitadas.	12
A Conteúdos	3	Apresenta, de forma completa, uma das justificações solicitadas e, de forma incompleta, a outra justificação.	9
A Conteúdos	2	Apresenta, de forma completa, apenas uma das justificações solicitadas. OU Apresenta, de forma incompleta, as duas justificações solicitadas.	6
A Conteúdos	1	Apresenta, de forma incompleta, apenas uma das justificações solicitadas.	3
B Linguagem Científica	2	Utiliza adequadamente o vocabulário específico da Matemática.	2
B Linguagem Científica	1	Utiliza, embora com uma ou mais falhas, o vocabulário específico da Matemática.	1