Estudo de Concavidades e Pontos de Inflexão - Matemática A 12.º Ano (Exame 2024)

Seja g uma função diferenciável, de domínio ]-π/2, π/2[, cuja derivada, g', é dada por g'(x) = cos (2x) + 2sen x.
Resolva os itens 11.
1.
e 11.
2.
sem recorrer à calculadora.
Estude a função g quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão.
Na sua resposta, apresente:
– o(s) intervalo(s) em que o gráfico de g tem concavidade voltada para baixo; – o(s) intervalo(s) em que o gráfico de g tem concavidade voltada para cima; – a(s) abcissa(s) do(s) ponto(s) de inflexão do gráfico de g, caso este(s) exista(m).

Determinar $g''(x)$ (ver nota 1) 2 pontos Escrever $g''(x) = 0$ 1 ponto Determinar o zero de $g''$ 4 pontos Reconhecer que $\sen (2x) = 2 \sen x \cos x$ 1 ponto Obter $2 \cos x (–2 \sen x + 1) = 0$ 1 ponto Escrever $\cos x = 0 \lor \sen x = \frac{1}{2}$ 1 ponto Obter $x = \frac{\pi}{6}$ 1 ponto Apresentar um quadro de sinal de $g''$ e de sentido das concavidades do gráfico de $g$ (ou equivalente) 4 pontos Apresentar o intervalo em que a concavidade do gráfico de $g$ é voltada para cima e o intervalo em que é voltada para baixo (ver nota 2) 2 pontos Apresentar a abcissa do ponto de inflexão $\left(\frac{\pi}{6}\right)$ 1 ponto Notas: 1. Se for evidente a intenção de determinar a derivada da função $g'$, a pontuação mínima a atribuir a esta etapa é 1 ponto. 2. Se for referido que o gráfico da função tem concavidade voltada para cima em $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}[$, em vez de $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ \setminus ]\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}[$, e concavidade voltada para baixo em $]\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}[$, em vez de $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ \setminus ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}[$, esta etapa deve ser considerada cumprida.