Geometria Analítica: Esfera Circunscrita a Cubo (Matemática A 12º Ano 2024)

Na Figura 1, está representado, em referencial o.
n.
Oxyz , o cubo [ABCDEFGH].
Sabe-se que:

• o plano ABC é definido pela equação x = 0 ;
• o ponto A pertence ao semieixo positivo Oy, e OA = 4;
• o ponto F pertence ao plano xOy;
• a reta FC é definida pela equação vetorial (x, y, z) = (-5, 2, 14) + k(−5, −1,7), k∈R.
Resolva este item sem recorrer à calculadora.
Determine a equação cartesiana reduzida da superfície esférica que contém todos os vértices do cubo [ABCDEFGH] .

Reconhecer que [FC] é um diâmetro da superfície esférica que contém todos os vértices do cubo 2 pontos Reconhecer que o ponto F tem cota nula ou ordenada igual a 4 1 ponto Reconhecer que o ponto C tem abcissa nula 1 ponto Reconhecer que as coordenadas dos pontos F e C são da forma (-5-5k, 2 – k, 14+7k) 2 pontos Obter o valor de k para o ponto F (-2) 1 ponto Obter as coordenadas do ponto F ((5,4,0)) 1 ponto Obter o valor de k para o ponto C (-1) 1 ponto Obter as coordenadas do ponto C ((0,3,7)) 1 ponto Escrever a equação cartesiana reduzida da superfície esférica 4 pontos Esta etapa pode ser resolvida por, pelo menos, dois processos. 1.º Processo Determinar as coordenadas do centro da superfície esférica $\left(\left(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}, \frac{7}{2}\right)\right)$ 1 ponto Reconhecer que o raio da superfície esférica é igual a $\frac{\sqrt{75}}{2}$ 1 ponto Escrever $\left(x-\frac{5}{2}\right)^2 + \left(y-\frac{7}{2}\right)^2 + \left(z-\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{75}{4}$ 2 pontos 2.° Processo Reconhecer que, dado um ponto, P, da superfície esférica de diâmetro [FC], esta pode ser definida por $\vec{PF} \cdot \vec{PC} = 0$ 1 ponto Obter x² + y² + z² – 5x – 7y - 7z + 12 = 0 (ou equivalente) 1 ponto Obter $\left(x-\frac{5}{2}\right)^2 + \left(y-\frac{7}{2}\right)^2 + \left(z-\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{75}{4}$ 2 pontos