Matemática A 12.º Ano 2024: Prova de Derivadas e Funções Pares

Considere uma função f, de domínio R, par e diferenciável.
Seja a um número real tal que f'(a)= f(a), com f(a)≠0.
Prove que f'(-a) × f'(a) = -[f(a)]².
Sugestão:
na sua resposta, poderá fazer uso da definição de derivada de uma função num ponto.

Este item pode ser resolvido por, pelo menos, três processos. 1.º Processo Reconhecer que $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ 1 ponto Escrever $f'(-a)= \lim_{x \to -a} \frac{f(x)-f(-a)}{x - (-a)}$ 2 pontos Reconhecer que $f(-a)= f(a)$ 2 pontos Escrever $\lim_{x \to -a} \frac{f(x) - f(a)}{x + a} = \lim_{y=-x \to a} \frac{f(-y)-f(a)}{-y + a}$ (ou equivalente) 3 pontos Escrever $\lim_{y \to a} \frac{f(-y) – f(a)}{-y + a} = - \lim_{y \to a} \frac{f(y) – f(a)}{y – a}$ 2 pontos Obter $f'(-a)=-f'(a)$ 1 ponto Reconhecer que $f'(-a)=-f(a)$ 1 ponto Concluir o pretendido 2 pontos 2.º Processo Reconhecer que $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 1 ponto Escrever $f'(-a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-a+h) - f(-a)}{h}$ 2 pontos Obter $\lim_{h \to 0} \frac{f(-a+h)-f(-a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a-h) – f(a)}{h}$ 3 pontos Escrever $\lim_{h \to 0} \frac{f(a-h) – f(a)}{h} = \lim_{s=-h \to 0} \frac{f(a+s)-f(a)}{-s}$ 3 pontos Escrever $\lim_{s \to 0} \frac{f(a+s) – f(a)}{-s} = -\lim_{s \to 0} \frac{f(a+s)-f(a)}{s}$ 1 ponto Reconhecer que $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+(-h)) - f(a)}{-h} = f'(a)$ 1 ponto Obter $f'(-a)= -f'(a)$ 1 ponto Concluir o pretendido 2 pontos 3.º Processo Reconhecer que, para qualquer $x\in\mathbb{R}$, $f(-x) = f(x)$ 2 pontos Reconhecer que $[f(-x)]' = f'(x)$ (ou equivalente) 2 pontos Escrever $f'(-x) (-x)' = f'(x)$ 4 pontos Obter $f'(-x)=-f'(x)$ 2 pontos Reconhecer que $f'(-a)=-f(a)$ 2 pontos Concluir o pretendido 2 pontos