Continuidade de Funções: Determinar k (Matemática A 12º Ano 2024)

Seja f uma função contínua, de domínio [0, +∞[, com f(0) = 2, e seja g uma função, de domínio R, definida, para um certo valor de k real, por g(x) = { f(x) se x ≥0, e^(-k(e^x – 1)) / (-x² + 2x) se x <0
Determine, sem recorrer à calculadora, o valor de k, sabendo que a função g é contínua em x = 0 .

Reconhecer que $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^+} g(x)$ ou $\lim_{x \to 0} g(x) = g(0)$ 1 ponto Reconhecer que $\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0} f(x)$ ou $g(0) = f(0)$ 1 ponto Obter $\lim_{x \to 0^+} g(x) = 2$ ou $g(0) = 2$ 1 ponto Determinar $\lim_{x \to 0^-} g(x)$ 7 pontos Reconhecer que $\lim_{x \to 0^-} g(x)= \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{-k (e^x – 1)}}{-x²+2x}$ 1 ponto Escrever $\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{-k (e^x – 1)}}{-x²+2x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{-k}(e^x – 1)}{x(x+2)}$ 2 pontos Escrever $\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{-k (e^x – 1)}}{x(x+2)} = \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{-k}}{-x+2} \times \lim_{x \to 0^-} \frac{e^x – 1}{x} = \frac{e^{-k}}{2} \times 1$ 2 pontos Obter $\lim_{x \to 0^-} g(x) = \frac{e^{-k}}{2}$ 1 ponto Escrever $\frac{e^{-k}}{2} = 2$ (ou equivalente) 1 ponto Obter o valor pedido $(-\ln 4$, ou equivalente) 3 pontos